Tipe-tipe Diferensiasi Numerik

Nama: Ammar Wirdiyansyah
NIM: D1041221029

Tipe-tipe Diferensiasi Numerik: Persamaan Diferensial Berdasarkan Tipe

    Terdapat dua kategori utama dari Persamaan Diferensial Berdasarkan Tipe: Persamaan Diferensial Parsial (PDP) dan Persamaan Diferensial Biasa (PDB).

    Persamaan Diferensial Parsial (PDP) adalah suatu bentuk persamaan diferensial yang melibatkan lebih dari satu peubah. Dalam PDP, turunan fungsi terhadap masing-masing peubah dilakukan secara parsial. Terdapat tiga metode utama yang digunakan dalam diferensiasi parsial: diferensiasi maju, diferensiasi tengah, dan diferensiasi mundur.

1. Metode diferensiasi maju, juga dikenal sebagai metode selisih maju, adalah pendekatan yang mengadopsi definisi diferensial secara langsung,dan dituliskan
   
   
   Dalam metode ini, turunan dihitung dengan menggunakan informasi dari beberapa titik di sebelah kanan titik yang diminati. Untuk mengurangi kesalahan (error), pengambilan nilai h (perubahan variabel independen) sebaiknya dilakukan dengan nilai yang sangat kecil, karena metode ini cenderung memiliki kesalahan yang lebih rendah ketika h sangat kecil.
   
   
2. Metode diferensiasi tengah, dalam metode diferensiasi tengah kita menghitung turunan fungsi dengan memanfaatkan informasi dari dua titik sekitar titik yang diukur, yang bisa dianggap sebagai rata-rata dari dua selisih maju,dan dituliskan:        
   
   
   
   
   
3. Metode diferensiasi mundur, dalam diferensiasi mundur kita mengambil informasi dari titik yang berada di sebelah kiri titik yang diukur,dan dituliskan:
   
   
    

       

       Persamaan Diferensial Biasa (PDB) merupakan suatu bentuk persamaan diferensial yang terdiri dari hanya satu peubah bebas, yang sering kali disimbolkan sebagai x. Terdapat beberapa metode numerik yang dapat diterapkan untuk menyelesaikan PDB ini, termasuk metode Euler, deret Taylor, Runge-Kutta, serta metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Namun, perlu diperhatikan bahwa penggunaan metode-metode ini menghasilkan solusi partikular yang bergantung pada syarat awal dan batas yang telah ditentukan sebelumnya. Persamaan diferensial ini sering ditemui dalam konteks analisis dinamika waktu, di mana nilai-nilai berubah seiring berjalannya waktu, dan banyak model matematis dalam ilmu teknik menggantungkan pada ekspresi matematika dalam bentuk persamaan diferensial.

    Berikut metode untuk Persamaan Diferensial Biasa (PDB):

1. Metode Euler, yang juga dikenal sebagai metode Runge-Kutta orde 1, merupakan salah satu metode numerik yang paling sederhana dalam kategori metode satu langkah jika dibandingkan dengan berbagai metode lainnya.
   
   Diturunkan dari dua (2) suku DERET TAYLOR, dan disebut juga dengan metode SATU LANGKAH.
   
   
   

   
   

   
   
   Dengan menggunakan pendekatan nilai awal (x0,y0) maka nilai-nilai y berikutnya dapat diperoleh dengan:
   

   

   
   
   

   

   
   
   
   
   
2. Metode Taylor adalah suatu teknik pendekatan yang memanfaatkan deret Taylor dengan jumlah suku yang lebih besar sebagai upaya untuk memperbaiki nilai-nilai fungsi secara keseluruhan dalam proses penyelesaian persamaan diferensial.
   Dari fungsi : 
   
   Dengan memberikan nilai pendekatan awal (x0, y0), solusi dapat diperoleh dengan cara berikut:
   
   
   
   
   
   
   
   Catatan:
   Pemakaian metode Taylor kurang populer karena membutuhkan perhitungan yang rumit dalam penyelesaiannya. Namun, metode ini dapat menghasilkan solusi yang akurat dalam beberapa permasalahan penyelesaian persamaan diferensial.
   
   
3. Metode Runge-Kutta merupakan perkembangan dari metode Euler, di mana perhitungan penyelesaian dilakukan langkah demi langkah. Untuk fungsi dari persamaan diferensial :
   
   

   Dengan titik pendekatan awal (x0,y0), berdasarkan metode Euler nilai fungsi penyelesaian diperoleh dengan:
   
   dimana dy adalah nilai perubahan nilai fungsi setiap step
   
   Metode Runge-Kutta : Orde 2
   Metode Runge-Kutta mengoperasikan langkah-langkah yang lebih kecil dalam perubahan nilai dengan membagi perubahan nilai pada setiap langkah menjadi sejumlah segmen yang telah ditentukan.Bentuk paling sederhana dari metode Runge-Kutta melibatkan pemisahan perubahan nilai menjadi dua bagian, sehingga:
   

   

   
   Dimana f1 dan f2 adalah nilai fungsi step yang diambil dari bentuk fungsi persamaan diferensial pada step tengahan.
   
   
   
   Sehingga diperoleh formulasi dari Metode Runge-Kutta orde-2 sebagai berikut:
   
   

   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   Metode Runge-Kutta : Orde-3
   Dalam Metode Runge-Kutta orde-3, berbeda dengan Metode Runge-Kutta orde-2 yang hanya menggunakan 2 koefisien perbaikan, metode ini menggabungkan 3 nilai koefisien perbaikan, yaitu k1, k2, dan k3, seperti yang dijelaskan berikut:
   

   

   Metode Runge-Kutta : Orde-4
   

   Pada Metode Runge-Kutta orde-2, terdapat 2 koefisien perbaikan yang digunakan, sementara pada Metode Runge-Kutta orde-4, digunakan 4 koefisien perbaikan yang diberi nama k1, k2, k3, dan k4, seperti yang diuraikan di bawah ini:
   

   
   

Kesimpulan    

    Dalam matematika, ada dua jenis persamaan diferensial utama: Persamaan Diferensial Parsial (PDP) yang melibatkan lebih dari satu variabel, dan Persamaan Diferensial Biasa (PDB) yang melibatkan hanya satu variabel. Untuk PDP, kita menggunakan metode diferensiasi maju, tengah, atau mundur untuk menghitung turunan, sedangkan pada PDB, kita menggunakan berbagai metode seperti metode Euler dan Runge-Kutta untuk menemukan solusi. Metode ini dapat membantu kita memahami perubahan dan hubungan matematis dalam berbagai bidang.